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Programme Marocain - BIOF Manuel de l’élève Auteurs HASSAN KHALKALLAH Professeur de maths Cycle secondaire qualifiant (Coordinateur) MOHAMED RAHNAOUI Ex. Inspecteur principal de l'enseignement secondaire MOHAMED MOUSSADDAR Professeur de maths Cycle secondaire qualifiant SALAH DIOUA Professeur de maths Cycle secondaire qualifiant ETINCELLE MATHS TC Scientifique & Technologique ETINCELLE MATHS Apostrophe6 SOMMAIRE Chapitre 1 Notion d’arithmétique 11 Je vérifie mes acquis 12 Activités de découverte 13 J'apprends le cours 15 J'applique le cours 20 Je m'exerce 22 Je m'évalue / Auto-formation 27 Fiche de remédiation / Évasion culturelle 28 Chapitre 2 Ensembles des nombres 29 Je vérifie mes acquis 30 Activités de découverte 31 J'apprends le cours 33 J'applique le cours 38 Je m'exerce 40 Je m'évalue / Auto-formation 43 Fiche de remédiation / Évasion culturelle 44 Chapitre 3 Ordre dans IR 45 Je vérifie mes acquis 46 Activités de découverte 47 J'apprends le cours 49 J'applique le cours 56 Je m'exerce 58 Je m'évalue / Auto-formation 61 Fiche de remédiation / Évasion culturelle 62 Chapitre 4 Polynômes 63 Je vérifie mes acquis 64 Activités de découverte 65 J'apprends le cours 67 J'applique le cours 70 Je m'exerce 72 Je m'évalue / Auto-formation 77 Fiche de remédiation / Évasion culturelle 78 Chapitre 5 Équations Inéquations et les systèmes 79 Je vérifie mes acquis 80 Activités de découverte 81 J'apprends le cours 83 J'applique le cours 90 Je m'exerce 94 Je m'évalue / Auto-formation 99 Fiche de remédiation / Évasion culturelle 100 Chapitre 6 Calcul vectoriel dans le plan 101 Je vérifie mes acquis 102 Activités de découverte 103 J'apprends le cours 105 J'applique le cours 108 Je m'exerce 110 Je m'évalue / Auto-formation 115 Fiche de remédiation / Évasion culturelle 116 Chapitre 7 Projection dans le plan 117 Je vérifie mes acquis 118 Activités de découverte 119 J'apprends le cours 121 J'applique le cours 124 Je m'exerce 126 Je m'évalue / Auto--formation 131 Fiche de remédiation / Évasion culturelle 132 Chapitre 8 Droite dans le plan 133 Je vérifie mes acquis 134 Activités de découverte 135 J'apprends le cours 137 J'applique le cours 140 Je m'exerce 142 Je m'évalue / Auto-formation 147 Fiche de remédiation / Évasion culturelle 148 Apostrophe 7 SOMMAIRE Chapitre 9 Trigonométrie partie 1 149 Je vérifie mes acquis 150 Activités de découverte 151 J'apprends le cours 153 J'applique le cours 158 Je m'exerce 160 Je m'évalue / Auto-formation 163 Fiche de remédiation / Évasion culturelle 164 Chapitre 10 Statistiques 165 Je vérifie mes acquis 166 Activités de découverte 167 J'apprends le cours 169 J'applique le cours 174 Je m'exerce 176 Je m'évalue / Auto-formation 179 Fiche de remédiation / Évasion culturelle 180 Chapitre 11 Fonctions numériques 181 Je vérifie mes acquis 182 Activités de découverte 183 J'apprends le cours 185 J'applique le cours 194 Je m'exerce 198 Je m'évalue / Auto-formation 207 Fiche de remédiation / Évasion culturelle 208 Chapitre 12 Trigonométrie partie 2 209 Je vérifie mes acquis 210 Activités de découverte 211 J'apprends le cours 213 J'applique le cours 218 Je m'exerce 220 Je m'évalue / Auto-formation 223 Fiche de remédiation / Évasion culturelle 224 Chapitre 13 Produit scalaire Je vérifie mes acquis 226 Activités de découverte 227 J'apprends le cours 229 J'applique le cours 232 Je m'exerce 234 Je m'évalue / Auto-formation 239 Fiche de remédiation / Évasion culturelle 240 Chapitre 14 Transformation usuelle du plan 241 Je vérifie mes acquis 242 Activités de découverte 243 J'apprends le cours 245 J'applique le cours 250 Je m'exerce 252 Je m'évalue / Auto-formation 255 Fiche de remédiation / Évasion culturelle 256 Chapitre 15 Géométrie dans l'espace parallélisme et orthogonalité 257 Je vérifie mes acquis 258 Activités de découverte 259 J'apprends le cours 261 J'applique le cours 266 Je m'exerce 268 Je m'évalue / Auto-formation 273 Fiche de remédiation / Évasion culturelle 274 Outils et fiches ressources Résumés des cours 275 Corrigés d'Auto-formation 281 Fiches techniques 284 Fiches numériques 285 Index 286 Bibliographique / Sitographie Crédits photographiques 288 ApostrophePROGRAMME 8 N° Chapitre Contenus du programme Compétences Prolongements 1 Arithmétique dans N • Les nombres pairs et les nombres ; impairs ; • Multiples d’un nombre, le plus petit multiple commun de deux nombres ; • Diviseurs d’un nombre, le plus grand diviseur commun de deux nombres. • Nombres premiers, Décomposition d’un nombre en produit de facteurs premiers. • Utiliser la parité et la décomposition en produit de facteurs premiers pour résoudre des problèmes simples portants sur les entiers naturels. • Connaître comment prouver qu'un nombre est premier. • Effectuer la décomposition en produit de facteurs premiers. • Déterminer PGCD ( a b, ) et PPCM ( a b, ) . • Arithmétique dans Z en premier année et deuxième année sciences Mathématiques. • En informatique dans les programmes de cryptage, sur internet pour sécuriser vos achats. 2 Ensembles de nombres N , Z , Q , D et R • Écriture et notations exemples de nombres Irrationnels. • Opérations dans IR • Les puissances et leurs propriétés ; puissance de 10 ; • Écriture scientifique d’un nombre décimal ; • Les identités remarquables : a b ; a b 2 2 ^ ^ + - h h a b 2 2 - ; a b 3 3 - ; a b 3 3 + • Développement et factorisation • Reconnaître les relations entre les nombres et distinguer les différents ensembles de nombres ; • Déterminer l’écriture convenable d’une expression algébrique selon la situation étudiée • En physique l'écriture scientifique • Étude d’une fonction numérique. 3 Ordre dans R • Ordre et opérations • La valeur absolue et ses propriétés Intervalles ; • Encadrement, approximation et approximations décimales. • Maîtriser les différentes techniques de comparaison de deux expressions. • Reconnaître et déterminer avec une précision donnée, une approximation d’un nombre (ou d’une expression). • Effectuer des majorations et des minorations des expressions algébriques. • Utiliser la calculatrice pour déterminer des valeurs approchées des nombres réels. • Résolution des inéquations. • Encadrement des nombres irrationnels. • Majorée et minorée une fonction numérique. • Monotonie d'une fonction. • Position relative de deux courbes. • Calcul des limites d'une fonction numérique. 4 Polynômes • Notion de polynôme, égalité de deux polynômes ; • Somme et produit de deux polynômes ; • Racine d’un polynôme, division par x a- • Factorisation d’un polynôme. • Maîtriser la technique de la division euclidienne par ( x a - ) et reconnaître la divisibilité par ( x a - ) • Résolution des équations et inéquations. • Variations d’une fonction numérique. 5 Équations, Inéquations et systèmes • Équations et inéquations du premier degré à une inconnue • Équations et inéquations du second degré à une inconnue • Forme canonique d’un trinôme •Équations du second degré à une inconnue ; • Signe d’un trinôme du second degré • Inéquations du second degré à une inconnue • Les systèmes • Systèmes de deux • Équations du premier degré à deux inconnues. • Régionnement du plan. • Résoudre des équations et des inéquations se ramenant à la résolution d’équations et d’inéquations du premier ou du second degré à une inconnue ; - Résoudre un système de deux équations du premier degré à deux inconnues en utilisant différentes méthodes (combinaison linéaire, substitution, déterminant) ; - Mathématiser, en utilisant des expressions, des équations, des inéquations, des inégalités ou des systèmes, une situation faisant intervenir des quantités variables ; • Représenter graphiquement les solutions d’inéquations ou de systèmes d’inéquations du premier degré à deux inconnues, et utiliser cette représentation dans le régionnement du plan et dans la résolution de problèmes. • Optimisation (programmation linéaire). • Variations d’une fonction. 6 Calcul vectoriel dans le plan • Égalité de deux vecteurs. • Somme de deux vecteurs. • Relation de Chasles. • Multiplication d’un vecteur par un nombre réel ; • Colinèarité de deux vecteurs, alignement de trois points ; • Définition vectorielle du milieu d’un segment. • Construire un vecteur de différentes origines • Construire la somme de deux vecteurs. • Parallélogramme et propriétés caractéristiques. • Exprimer les notions et les propriétés de la géométrie affine en utilisant l’outil vectoriel et réciproquement. • Résoudre des problèmes géométriques en utilisant l’outil vectoriel. • Droite dans le plan. • Produit scalaire. • Notion d'une force en physique. • Transformation dans le Plan. ApostrophePROGRAMME 9 7 Projection dans le plan • La projection sur une droite • La projection orthogonale, la projection sur un axe théorème de Thalès : sens direct et sens réciproque ; • Conservation du coefficient de colinéarité de deux vecteurs. • Traduction vectorielle du théorème de THALES. • Produit scalaire. • Travail d'une force. • Coordonnées d'un point et d'un vecteur dans un repère. • Géométrie dans l'espace. 8 Droite dans le plan • Le repère : coordonnées d’un point, coordonnées d’un vecteur. • Condition de colinéarité de deux vecteurs ; Détermination d’une droite définie par la donnée d’un point et d’un vecteur directeur. • Représentation paramétrique d’une droite . • Équation cartésienne d’une droite. • Positions relatives de deux droites. • Exprimer les notions et les propriétés de la géométrie affine et de la géométrie vectorielle à l’aide des coordonnées. • Utiliser l’outil analytique dans la résolution de problèmes géométriques. • Droites tangentes et asymptotes d’une courbe représentative d’une fonction numérique. • Programmation linéaire. 9/ 12 Trigonométrie Première partie : chp 9 • Cercle trigonométrique, les abscisses curvilignes d’un point, l’abscisse curviligne principale ; • Angle orienté de deux demi-droites ayant la même origine, la mesure principale, relation de Chasles ; • Relation entre le degré, le radian et le grade ; • Angle orienté de deux vecteurs et mesure de cet angle ; • Lignes trigonométriques d’un nombre réel et lignes trigonométriques d’un angle de deux vecteurs ; Relations : cos s () () x x in 1 2 2 + = ; ( ) ( ) ( ) tan cos sin x x x = ; ( ) ( ) tan cos x x 1 2 1 + = • Lignes trigonométriques d’un angle de mesure : 0 , 6 r ; 4 r ; 3 r ; 2 r • Relations entre les lignes trigonométriques de deux angles dont la somme ou la différence des mesures est égale à : 0 , 2 r ; r modulo 2r . Deuxième partie : chp 12 • Représentation graphique des deux fonctions cos et sin ; • Les équations et inéquations trigonométriques fondamentales : sin x( ) = a ; cos x( ) = a ; tan x( ) = a Les angles inscrits, les quadrilatères inscriptibles Les relations : sin s (A) ( in B) sin (C) a b c = = S ( sinab C) 2 1 = ; S p = r . • Utiliser la calculatrice scientifique pour déterminer une valeur approchée d’un angle défini par l’une de ses lignes trigonométriques et inversement ; • Maîtriser les lignes trigonométriques des angles usuels et appliquer les différentes relations. • Tracer les courbes représentatives des fonctions sin et cos et les exploiter pour l’assimilation des notions de périodicité, de parité et de monotonie • Utiliser le cercle trigonométrique pour représenter et déterminer graphiquement les solutions d’équations ou d’inéquations trigonométriques. • Nombres complexes. • Coordonnées polaires. • Parité et périodicité d’une fonction numérique. 10 Statistiques • Tableaux statistiques ; • Effectifs et effectifs cumulés ; Pourcentage, fréquence, fréquences cumulées ; • Représentations graphiques, histogrammes ; • Paramètres de position : moyenne arithmétique, médiane, mode ; • Paramètres de dispersion : écart moyen, variance, écart type. • Organiser des données statistiques. •Lire et interpréter des graphiques statistiques. • Interpréter les paramètres de position et les paramètres de dispersion. • Distinguer les différents paramètres de position. • Distinguer les différents paramètres de dispersion. • Statistiques des populations. • Probabilités. • Économie. ApostrophePROGRAMME 10 11 Généralités sur les fonctions • Généralités : Ensemble de définitions d’une fonction numérique. Égalité de deux fonctions numériques. • Représentation graphique d’une fonction numérique. • Fonction paire et fonction impaire (interprétation graphique) • Variations d’une fonction numérique ; • Maximum, minimum d’une fonction numérique sur un Intervalle ; • Représentation graphique et variations des fonctions suivantes : x ax 2 " ; x x a " ; x ax bx c 2 " + + ; x cx d ax b " + + ; x x " sin ( ) ; x x " cos( ) . • Reconnaître la variable et le domaine de définition de cette variable pour une fonction définie par un tableau de données ou une courbe ou une expression. Déterminer graphiquement l'image d’un nombre ; • Déterminer graphiquement un nombre dont l’image est connue à partir de la représentation graphique d’une fonction • Déduire les variations d’une fonction ou les valeurs maximales ou minimales à partir de la représentation graphique de cette fonction. • Résoudre graphiquement des équations et des inéquations. • Tracer la courbe d’une fonction polynôme du second degré ou d’une fonction homographique sans utiliser un changement de repère. • Exprimer, en utilisant la notion de fonction, des situations issues de la vie courante ou des autres disciplines • Notion des limites. • Dérivation. • Étude d’un mouvement d’un mobile. • Étude graphique d’une fonction en physique et chimie et SVT. • Raisonnement scientifique et communication graphique. 13 Produit scalaire • Définition et propriétés ; • Expression trigonométrique ; • Orthogonalité de deux vecteurs ; • Applications du produit scalaire : • Relations métriques dans le triangle rectangle • Théorème de la médiane • Théorème d’Al Kashi. • Exprimer la distance et l’orthogonalité à l’aide du produit scalaire ; • Utiliser le produit scalaire dans la résolution de problèmes géométriques ; • Utiliser le théorème d’Al Kashi et le théorème de la médiane dans la résolution d’exercices géométriques. • Produit scalaire dans l’espace • Travail d’une force. 14 Transformations du plan • Symétrie centrale et axiale. • Translation • Colinéarité de deux vecteurs. • Reconnaître les figures isométrique et les figures semblables à l’aide de la symétrie, de la translation et de l’homothétie • Résoudre des problèmes géométriques à l’aide des transformations précédentes. • Résolution des problèmes à l’aide des transformations. • Optique (Physique) • Rotation autour d’un axe. 15 Géométrie dans l'espace • Axiomes d’incidence, • Détermination d’un plan dans l’espace ; • Positions relatives de droites et de plans dans l’espace . • Propriétés du parallélisme et de l’intersection ; • Orthogonalité : orthogonalité d’une droite et d’un plan, orthogonalité de deux plans . • Propriétés du parallélisme et de l’orthogonalité. • Figure géométrique : Pyramide ; cube, cylindre ;parallélépipède … • Reconnaître et représenter dans le plan des parties de l’espace ; • Reconnaître les cas d’analogie et les cas de non-analogie, entre notions et propriétés dans le plan et celles dans l’espace ; • Utiliser les propriétés de la géométrie dans l’espace pour la résolution de problèmes de la vie courante. • Géométrie dans l’espace (Étude Apostrophe Analytique)11 Titre leçon Question LEÇON 1 Compétences visées • Utiliser la parité et la décomposition en produit de facteurs premiers pour résoudre des problèmes simples portant sur les entiers naturels. Prérequis • Les nombres entiers naturels. • Les multiples et les diviseurs d'un entier naturel. • Nombres pairs et impairs. Prolongements • Arithmétique dans Z en première année et en 2eme année sciences Mathématiques. • Cryptographie Notion d’arithmétique LEÇON 1 Apostrophe12 • JE VÉRIFIE MES ACQUIS Dans chacun des cas suivants. Indiquer la bonne réponse : A B C 24 est multiple de : 5 14 2 14 est un diviseur de : 7 28 2 5 7 2 4 3 1236 est un multiple de : 9 3 2 9 divise : 779 7776 99213467 Un entier m est divisible par 5 si : La somme des unités de m est divisible par 5 . Le chiffre des unités de m est 0 ou 5 . m est un entier impair Si n est impair alors : n + 1 est pair 2n est impair 2 divise n 2 6 3 + est un nombre : Divisible par 3 pair impair 40 s'écrit sous la forme : 2 5 2 # 2 5 3 # 2 5 2 2 # Parmi les multiples de 7 on trouve 7 : 1 et 7 0 ; 7 ; 14 et 1 2 ; 7 et 17 Si x 2 3 5 2 7 = # # alors : 15 divise x 18 divise x x est un multiple de 200 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Apostrophe• 13 ACTIVITÉS DE DÉCOUVERTE Multiples et diviseurs d’un entier naturel 1 • Donner le reste et le quotient de la division euclidienne de 245 par 3 . 2 • Donner les diviseurs de 245 . 3 • Donner les multiples de 2 inférieurs ou égales à 30 . 4 • Donner les multiples de 6 inférieurs à 52 . Nombres pairs - Nombres impairs 1 • Écrire les nombres pairs compris entre 20 et 45 2 • Écrire les nombres impairs compris entre 20 et 45 3 • Un nombre entier est pair s’il est divisible par 2 C'est à dire qu’on peut l’écrire sous la forme 2k avec k un entier naturel Déterminer les nombres pairs parmi les nombres suivants : 204 ; 2 3 1 # ; 2 3 ; ^ h 13 + 15 ; ^ h 11 9- 4 • Un nombre entier est impair s’il n’est pas divisible par 2 c’est à dire qu’on peut l’écrire Sous la forme 2 1 k + avec k ! N ; 13 est impair car 13 = + 2 6 #^ h 1 et 6 ! N Déterminer les nombres impairs parmi les nombres suivants : 29 ; 2 2 #^ h 5 5 + ; 2 3 1 #a k+ 1 ; 2 5 + 1. 5 • a. Montrer que si n'est pair alors n n^ h + 1 est pair. b. Montrer que si n'est impair alors n n^ h + 1 est pair. c. Que peut - on conclure? Parité et opérations (+, -, #) Soient a et b deux entiers naturels avec a b 2 et n ! N) 1 • Montrer que si a et b sont tous les deux pairs, alors a b + et a b- et a b. sont pairs . 2 • Montrer que si a et b sont tous les deux impairs, alors a b + et a b- sont pairs et a b. est impair. 3 • Montrer que si a est impair et b pair, alors a b + et a b- sont impairs et a b. est pair. Multiples communs de deux nombres et plus petit commun multiple de deux nombres ( PPCM ) 1 • Déterminer tous les multiples de 10 inférieurs à 61 2 • Déterminer tous les multiples de 6 inférieurs à 61 3 • Déterminer le plus petit commun multiple non nul de 10 et 6 qu’on note PPCM ^ h 10 6; 4 • Déterminer PPCM ^ h 12;15 1 2 3 4 Apostrophe14 • ACTIVITÉS DE DÉCOUVERTE Diviseurs communs de deux nombres et plus grand commun diviseur de deux nombres 1 • Déterminer les diviseurs de 45 2 • Déterminer les diviseurs de 30 3 • Déterminer le plus grand commun diviseur de 45 et 30 qu’on note PGCD ^ h 45,30 4 • Déterminer PGCD ^ h 28,96 Décomposition en produit de facteurs premiers 1 • Donner la décomposition en produit de facteurs premiers des deux nombres 168 et 86 . 2 • Déterminer les diviseurs de 198 et les diviseurs de 168 . 3 • Quels sont les diviseurs communs à 168 et 86 ? 4 • Quel est le PGCD de 168 et 86 ? Nombres premiers 1 • Déterminer les diviseurs des nombres suivants : 235 --- 7 2 • Que peut - on remarquer ? Un nombre entier naturel est dit premier s’il a exactement deux diviseurs distincts 1 et lui même 3 • On considère le tableau ci - dessous. Recopier et colorier les cases des nombres entiers premiers 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Soit a et b deux entiers naturels tels que a b $ . le quotient et le reste de la division de a par b est respectivement q et r .( a b = q r + ) On pose d1 = PGCD ( a , b ) et d b 2 = P , gcd^ hr . 1 • Montrer que d1 divise b et r , puis en déduire que d1 ≤ d2 . 2 • Montrer que d2 divise a et b , puis en déduire que d2 ≤ d1 . 3 • En déduire que P gcd ( a , b )= P gcd ( b , r ). L'algorithme d’Euclide qui est basé sur le résultat de la troisième question : c'est une suite d’opérations (division euclidienne), qui permet de retrouver le PGCD de deux « grands » nombres en se ramenant à des nombres plus petits. Le PGCD est le dernier reste non nul trouvé. Ainsi, on procède de la manière suivante : • On effectue la division euclidienne de a par b . On note r le reste • On remplace ensuite a par b et b par r . • Tant que le reste est différent de 0 , on réitère le procédé. Après un certain nombre d'itérations, on obtiendra un reste égal à 0 . Le PGCD de a et de b est alors le reste précédent (c'est à dire le dernier reste non nul). 5 6 7 8 Apostrophe