Atlas_Tematico_de_Matematicas_Algebra_y

www.FreeLibros.meMATEMÁTICAS (álgebra y geometría) + ejercicios ID EA B O O K S , S .A . www.FreeLibros.meTítulo de la colección ATLAS TEMÁTICOS Texto e ilustración © 1996 IDEA BOOKS, S.A. Redacción / F. Hurtado, A. Quintana, B. Sanahuja, P. Taniguchi, J. Vlllanova Ilustraciones / Equipo editorial Diseño de la cubierta / Lluís Lladó Teixidó Printed in Spain by Emegé, industria Gráfica, Barcelona EDICIÓN 1997 www.FreeLibros.meA l ATLAS DE MATEMÁTICAS, dedicado al Análisis, le acompaña en esta colección el tomo correspondiente al Álgebra y la Geometría. Puede decirse que entre ambos constituyen un muy amplio panorama de las matemáticas elementales y medias. De hecho, el volumen de Análisis va algo más allá, y aquella disciplina y la Geometría Analítica presuponen conocimientos de Aritmética y Geometría elementales que se ofrecen en el presente volumen, resultando éste, por tanto, de acceso mucho más asequible. El texto se halla dividido en tres grandes bloques. La primera parte, Álgebra y Aritmética, tras una introducción a los conjuntos y a las estructuras algebraicas, trata de conjuntos de números, operaciones, ecuaciones, polinomios, progresiones y combinatoria. Se ha dedicado un cuidado especial a los temas de Aritmética Mercantil. Así, en la tarjeta de proporcionalidad (A/9) surgen ya los temas de porcentaje, repartimiento proporcional y regla de compañía, y en A/16 y A/l 7, tras las progresiones, se tratan los temas de intereses, amortización, capitalización, descuento en factura y descuento en letra de cambio. La segunda parte del libro la constituye la Geometría Sintética, que introduce los elementos del plano y del espacio, triángulos, circunferencia, polígonos, movimientos y cuerpos sólidos. Se ha tenido en cuenta en su redacción el renovado auge de esta materia en la enseñanza (y que será cada vez mayor). La parte final la constituye la Geometría Analítica, plana y tridimensional, precedida por una introducción de Algebra Vectorial. A diferencia de los habituales libros de texto, que se explayan y demoran en la introducción de los conceptos, este ATLAS DE MATEMÁTICAS es condensado y directo, y, por ello, especialmente adecuado para poder acceder a (o recuperar) un concepto determinado o alguna de sus aplicaciones. Pero no debe ser confundido con un simple formulario: pese a la densidad, el texto incluye aclaraciones que dan luz allí donde es necesaria y la amplia colección de ejercicios resueltos, de indispensable consulta durante la lectura, contribuye eficazmente a tal propósito. Y en esa dirección, merece capítulo aparte el esfuerzo editorial de ilustración: un brillante apoyo visual, ciertamente desacostumbrado en libros de matemáticas. Quisiera finalmente hacer constar la satisfacción que me ha supuesto el poder colaborar, en esta ocasión, con los restantes miembros matemáticos del Equipo Corb. Creo que, respetando cada estilo individual, hemos conseguido una obra bien coordinada y de gran utilidad para sus lectores. FERRAN HURTADO www.FreeLibros.meAlgebra CONJUNTOS La palabra conjunto significa «colección» de objetos; a esos objetos se les llama elementos. Si xes un elemento de un conjunto C, decimos que x pertenece a C, y escribimos x G C. Para explicar cómo es un conjunto C, o sea, para definirlo, podemos escribir C = {...}, y colocar todos sus elementos dentro de las llaves, separados por comas (definición por extensión), o bien escribir una propiedad característica de los mismos, es decir, una propiedad que cumplan ellos y sólo ellos (definición por comprensión). Los conjuntos pueden representarse gráficamente con diagramas de Venn (figs. 3 a 6), Se admite que existe un conjunto que no tienne elementos, llamado conjunto vacío y simbolizado por 0 . O sea, 0 = {}. Escribiremos A = B, que se lee «A igual a B», sólo si A y B tienen, exactamente, los mismos elementos (dicho de otro modo, son el mismo conjunto). • Ejemplo. Si V representa el conjunto de las letras vocales, escribiremos V = {a, e, i, o, u) o V = ( letras vocales}. Obsérvese que u E L , pero m V. Relación de inclusión. Subconjuntos Dados dos conjuntos A y B, escribiremos A C B s i todos los elementos de A también lo son de B. A C B se lee de cualquiera de estas formas: A está contenido en B, A está incluido en B, A es un subconjunto de B, A es una parte de B. La inclusión de conjuntos tiene las propiedades reflexiva (1), antisimétrica (2) y transitiva (3); es decir, 1. Cualquier conjunto A cumple A C A , 2. Si A C B y B C A, entonces A = B, 3. Si A C B y B C C, entonces A C C. Si A es un conjunto, P(A) representa el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A. Se llama el conjunto de las partes de A (fig. 2). Operaciones con conjuntos Casi siempre, los conjuntos se definen a partir de otros mayores, que los contienen. Supondremos, pues, que se trabaja con conjuntos A, B, C ... que son, todos, subconjuntos de otro mayor, E, al que llamaremos referencial. Dados dos conjuntos A y B, se pueden definir los siguientes conjuntos: A ü B , llamado unión de A y B, que es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen ya sea a A, ya sea a B, o a ambos (fig. 3). A Cl B, llamado intersección de A y B, es el conjunto formado por los elementos comunes a A y a B. Si A y B no tienen elementos comunes, A fl B = 0 y se dice que A y B son disjuntos (fig. 4). A-B, llamado diferencia de A y B, es el conjunto formado por los elementos de A que no pertenecen a B (fig. 5). Dado un conjunto A, se llama complementario de A, representado por A', al conjunto E-A. Está formado, pues, por los elementos del referencial que no son de A (fig. 6). Se cumplen estas propiedades: De la unión (A U B )U C = A U (fiU Q A U B = B U A A U A = A A U 0 = A De la intersección (A n B) n c = a n (B n o a n b = B n a a n a = A a n 0 = 0 A bsorción y distributiva A U (A n B) = A A n (A U B) = A A U (B n Q = (A U B) n (A U Q a n (g u o = (A n B) u (A n o Leyes de Morgan (A'Y = A, (A U BY = A' n B’, (A Cl B)' = A' U B’. Pares ordenados. Producto cartesiano El símbolo (a, b) se usa para representar lo que llamamos el par ordenado de objetos formado por a y b, llamados, respectivamente, primera y segunda componente del par. No debe confundirse (a, ti) con el conjunto {a, b} pues (a, b} = = {b, a), pero (a, b) A (ti, a). Sólo se cumple (a, b) = (c, c!) si a = b y c = d. Dados dos conjuntos A y B, llamados producto cartesiano de A por B, simbolizado por A X B, al conjunto formado por todos los pares ordenados de la forma (x, y) con x 6 A e y G B. Véase en la figura 7 cómo se forma. ATLAS DE M ATEM ÁTICAS 6 www.FreeLibros.meC o n j u n t o s . „ / 1 Producto cartesiano { ) {•) {>) _ Fig. 1 - La Osa Mayor es un subconjunto del conjunto de las Fig. 2 - Conjunto P (E), siendo E = . • . A estrellas. ' Las flechas indican la relación de inclusión. Fig. 3 - A U B. Fig. 4 - G D Diferencia Fig. 5 - B Fig. 6 - Conjunto complementario de A. (1, ■) (2 ,■) (3.H) (4.B) <1,#> (2,#) (3.#) (4,#) (1 , A) (2 , A) <3, A) (4, A) Fig. 7 - Formación del producto cartesiano A X B. Union A l g e b r a 7 www.FreeLibros.meÁlgebra CORRESPONDENCIAS Entre un conjunto de niños, A, y otro de adultos, 8, puede establecerse una correspondencia al considerar, por ejemplo, quién es hijo de quién. Eso permite «emparejar» ciertos elementos de A con ciertos elementos de B, formando, así, un subconjunto de A X 8. Definiciones. Una correspondencia de A en 6 es un subconjunto no vacío de A x B. A se llama conjunto inicial de la correspondencia, y 8, conjunto final. Si el par (a, b) figura en la correspondencia, diremos que b es una imagen de a, escrito f(a) = b, en donde la letra f simboliza la correspondencia; también se dice que a es una antiimagen de b. Dominio de f (Dom f) es el conjunto formado por los elementos de A que tienen alguna imagen. Imagen de f (Im f) es el conjunto formado por los elementos de B que tienen alguna antiimagen. Las correspondencias entre conjuntos de números suelen darse mediante fórmulas. Por ejemplo, las fórmulas f(x) = x2, g(x) = ± \Jx definen correspondencias de R en R (conjunto de números reales). La primera asocia a cada número real su cuadrado, y la segunda le asocia sus dos raíces cuadradas, caso de ser positivo (los negativos no tienen raíces cuadradas en R). Gráficamente, las correspondencias suelen representarse con diagramas de flechas o diagramas cartesianos (ver figuras 1 y 2, y obsérvese que Dom f= [a, b, d], Im f= {1, 2, 4}). Aplicación. Tipos de aplicaciones Diremos que una correspondencia de A en 6 es aplicación si cada elemento de A tiene imagen y sólo una (cuidado: debe tenerla, pero puede coincidir con la de otro). Diremos que una aplicación de A en 8 es inyectiva si nunca dos elementos de A tienen la misma imagen. Diremos que una aplicación de A en 8 es exhaustiva si todo elemento de 8 es imagen, al menos, de un elemento de A. Diremos que una aplicación de A en 8 es biyectiva si es, a la vez, inyectiva y exhaustiva. Ello significa que cada elemento de A tiene una sola imagen en B, y cada elemento de B es imagen de un solo elemento A. • Ejemplo. La correspondencia de la figura 1 no es aplicación (a tiene dos imágenes y c, ninguna). g= {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (d, 3)} es aplicación, pero no es exhaustiva (2 no es imagen de ningún elemento de A) ni inyectiva (ay b tienen la misma imagen). h = {(a, 4), (b, 2), (c, 1), (d, 3)} es aplicación: además, es inyectiva y exhaustiva; por tanto, es biyectiva. RELACIONES Entre los elementos de un conjunto A suelen existir relaciones. Así, en el conjunto de alumnos de una clase pueden darse relaciones del tipo «ser hermano de»,«ser más alto que», «ser de la misma edad que», «ser vecino de», etc. Cada una de ellas permite, en principio, emparejar ciertos elementos de A, que la cumplen; al considerar elementos interrelacionados, unas relaciones permiten «clasificar» los elementos de A, otras permiten «ordenarlos», etc. Definición. Una relación, R, sobre un conjunto A, es un subconjunto no vacío de A X A. Si (a, b) e R, se suele escribir aRb, que se lee «a está relacionado con £>». Diremos que una relación tiene la propiedad: 1. Reflexiva, si cualquier elemento a, del conjunto, cumple aRa. 2. Antirrefiexiva, si ningún elemento, a, del conjunto cumple aRa. 3. Simétrica, si siempre que se cumple aRb, también se cumple bRa. 4. Antisimétrica, si nunca se cumple aRb y bRa. salvo si a = b. 5. Transitiva, si siempre que se cumple aRb y bRc, también se cumple aRc. Relaciones de equivalencia. Diremos que una relación es de equivalencia si tiene las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. Si R es una relación de equivalencia sobre A, y a E A, el conjunto de elementos A relacionados con a constituye la llamada clase de equivalencia de a. Las distintas clases de equivalencia determinadas por R en A son disjuntas dos a dos y su unión es A: constituyen lo que llamamos una partición o clasificación de A (flg. 3a y b). Relaciones de orden. Se llama así a las que tienen las propiedades antisimétrica y transitiva; si, además, es reflexiva, diremos que es de orden amplio; si es antirrefiexiva, diremos que es de orden estricto. Si en una relación de orden existen elementos no relacionados ni en un sentido ni en otro, diremos que es de orden parcial; si, por el contrario, dos elementos cualesquiera siempre están relacionados en un sentido u otro, diremos que es de orden total (fig. 3c y d). ATLAS DE M ATEM ÁTICAS 8 www.FreeLibros.meC o r r e s p o n d e n c i a s n # p U r e l a c i o n e s H B 4 3 2 1 a b c d A Fig. 1 - Diagrama de flechas de una correspondencia de A Fig. 2 - Diagrama cartesiano de la correspondencia de la en B. figura 1. Fig. 3 - Las figuras a, b, c, d representan cuatro relaciones distintas sobre un mismo conjunto c; son, respectivamente, las relaciones «a es del mismo color que b», «a es de la misma forma que b», «a tiene menor área que b», y «a cabe en b». La primera y segunda son de equivalencia; la tercera es de orden total y la cuarta es de orden parcial. A l g e b r a 9 www.FreeLibros.meÁlgebra OPERACIONES Definición. Una operación interna en un conjunto A (o, simplemente, operación) es una aplicación de A x A en A: A x A ----------- > A (a, b) \----------- > a © b El elemento de A que corresponde al par (a, b) se llama operado de a y 6, y se representa intercalando entre a y b el símbolo de la operación (©, o el que sea). • Ejemplos. En N (conjunto de los números naturales), suma y producto son operaciones Internas, pero no lo es la resta: la suma, o producto, de dos naturales cualesquiera, es un natural (así, para el par (5, 9), se tiene que 5 + 9 = 1 4 G N , y 5 ■ 9 = 45 £ N); la resta de dos naturales no siempre es un natural (5 - 9 = -A $ N). Sea 5 el conjunto de los días de la semana, esto es, S = { L, M, Me, J, V, S, D}. Se define una operación en S, como sigue: El operado de los días X e V es el obtenido al «desplazar» X tantos lugares como indica el número de orden de Y en el conjunto de los siete días. Por ejemplo M e ® M = V (M c-> J-> V), y V ® J = M (V -> -¥ 5 —> D —> L —> M). Véase la lámina adjunta. Propiedades de las operaciones. Sea A un conjunto y © una operación interna en él: — Se dice que © tiene la propiedad asociativa si se cumple (a © b) © c = a © (£> © c), para cualesquiera elementos a, b y c de A. — Si existe en A un elemento e, tal que a © e = a = e © a (para cualquier a G A), se dice que e es el elemento neutro de © en A. — Si e es el elemento neutro de © en A, y a y b son dos elementos de A que cumplen a ® b = e= b @ a , diremos que son opuestos, o que cada uno es opuesto del otro (a veces se les llama inversos, o simétricos). Si en A tenemos definidas dos operaciones * y © , diremos que * es distributiva con respecto a © si, para cualesquiera elementos a, b, cele A, se cumple a * ( b @ c) = (a * b) © (a * c) y, también, (b © c) * a = (b * a) © (c * a). • Ejemplos. Es bien sabido que la suma y producto cíe números enteros tienen las propiedades asociativa y conmutativa; además, el producto es distributivo con respecto a la suma pues a - (b + c) = a ■ b + a ■ c y (b + c) • a = b ■ ■ a + c ■ a. Existen elementos neutros en ambas operaciones: respectivamente el cero y el uno, pues a + 0 = a = 0 + a y a -1 = a = 1 - a. Si a es un número entero, el número que se obtiene al cambiarlo de signo es otro entero que, sumado con a, da cero, luego todos los enteros tienen opuesto para la suma (Ejemplo: El opuesto de -3 es +3, pues (-3) + (+3) = 0). No ocurre lo mismo con el producto, donde el «opuesto» de a debería ser un número que, multiplicado por a, diera 1. Si se utilizan fracciones, es posible hallar ese número (por ejemplo, en el caso de 3 se obtiene 1/3), pero no es entero; por tanto, no es correcto decir que, en el conjunto de los enteros, éstos tienen opuesto para el producto; sería correcto decirlo en el conjunto de los números racionales (fraccionarios) si se excluye al cero, que no tiene (piense el lector por qué). ESTRUCTURAS: GRUPOS. ANILLOS Y CUERPOS 1. Diremos que el conjunto A, con la operación © , es un grupo, si © es asociativa, existe elemento neutro de © en A, todo elemento de A tiene opuesto. Si, además, © tiene la propiedad conmutativa, diremos que es un grupo conmutativo. 2. Diremos que el conjunto A, con las operaciones © y *, es un anillo, si A es grupo conmutativo con la operación ©, * es asociativa y distributiva con respecto a ©. 3. Diremos que el conjunto A, con las operaciones © y *, es un cuerpo, si A es anillo con esas operaciones, * tiene elemento neutro (llamado «unidad», o «uno», para distinguirlo del neutro de © , al que se llama «cero»), todo elemento de A, salvo el cero, tiene opuesto para la operación * (llamado «inverso», para distinguirlo del opuesto en ©). SI además, * es conmutativa, diremos que A es un cuerpo conmutativo. * Ejemplos. El conjunto de los números enteros, con la suma, es un grupo conmutativo; con la suma y el producto es un anillo, pero no es cuerpo. El conjunto de los números racionales, con la suma y el producto, es un cuerpo conmutativo. El conjunto de los días de la semana, con la operación antes definida, es un grupo conmutativo (el elemento neutro es el domingo). ATLAS DE M ATEM ÁTICAS 10 www.FreeLibros.meE s t r u c f u r a R . , de g ru p o Fig. 1 - Hay ocho movimientos que dejan fija una pirámide regular cuadrada: los giros en torno a su eje de 90°, 180°, 270° y 360° (Gv G 2, G 3 y G 4) y las simetrías planas Sv S2, S3 y S4. La composición de dos de ellos es alguno de los ocho (S4 tras S•, da G 3). L M Me J V S D L M Me J V S D L M Me J V S D L M Me J V S D L M Me J V s D L M Me J V s D L M Me J V s D L M Me J V S D L M Me J V S D Fig. 2 - Tabla del grupo de días de la semana (ver texto). Son opuestos L y S, M y V, Me y J, D y D. Si S2 S3 s 4 c , g 2 G3 c 4 Si g 4 G , C 2 G3 s2 S3 s4 S, S2 g 3 C,4 G i C 2 s3 s 4 Si S2 S3 g 2 C 3 g 4 C , s4 Si S2 S3 S4 G , C 2 C 3 g 4 Si S2 S3 s4 G , S4 Si s2 s3 G2 g 3 c 4 G , C 2 s3 s4 S, S2 c 3 c 4 G i G2 G ¡ s2 S3 S4 Si c 4 c , c . g 3 C 4 S, S2 S3 S4 G i C 2 C 3 g 2 Fig. 3 - Tabla del grupo de los ocho movimientos de la fig. 1. Véase que es un grupo no conmutativo. Á LG EBR A 11 www.FreeLibros.me