كتاب الطالب لمادة الرياضيات الحادي عشر العلمي الفصل الثاني

National Center for Curriculum Development ضيات�الريا 11 ً د. عمر محمد أبوغليون )رئيسا( هـبـه ماهـر التميمـي يوسف سليمان جرادات أ.د. محمد صبح صبابحه فريـق التأليـف يرس املركز الوطني لتطوير املناهج استقبال آرائكم وملحوظاتكم عىل هذا الكتاب عن طريق العناوين اآلتية: 06-5376262 / 237 06-5376266 P.O.Box: 2088 Amman 11941 @nccdjor [email protected] www.nccd.gov.jo النا�شر: املركز الوطني لتطوير املناهج ال�صف احلادي ع�شر - الفرع العلمي الف�صل الدرا�سي الثاين كتاب الطالب© HarperCollins Publishers Limited 2021. - Prepared Originally in English for the National Center for Curriculum Development. Amman - Jordan - Translated to Arabic, adapted, customised and published by the National Center for Curriculum Development. Amman - Jordan ISBN: 978 - 9923 - 41 - 384 - 5 All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, sorted in retrieval system, or transmitted in any form by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording or otherwise , without the prior written permission of the publisher or a license permitting restricted copying in the United Kingdom issued by the Copyright Licensing Agency Ltd, Barnard's Inn, 86 Fetter Lane, London, EC4A 1EN. British Library Cataloguing -in- Publication Data A catalogue record for this publication is available from the Library. اململكة األردنية اهلاشمية رقم اإليداع لدى دائرة املكتبة الوطنية )2022/4/2081( 375.001 األردن. المركز الوطني لتطوير المناهج الرياضيـات الصـف الحادي عشـر: الفرع العلمـي: كتاب الطالب )الفصل الدراسـي الثانـي(/ المركـز الوطني لتطوير المناهج-.ط2؛مزيـدة ومنقحة-. عمـان: المركز، 2022 )195( ص. ر.إ:. 2022/4/2081 الواصفات: /تطوير المناهج//المقررات الدراسية//مستويات التعليم//المناهج/ يتحمل المؤلف كامل المسؤولية القانونية عن محتوى مصنفه وال يعبّر هذا المصنف عن رأي دائرة المكتبة الوطنية. الطبعة األوىل )التجريبية( 1442 هـ / 2021 م أعيدت طباعته 2022 م - 2023 م قـرَّرت وزارة الرتبيـة والتعليـم تدريـس هذا الكتـاب يف مدارس اململكـة األردنية اهلاشـمية مجيعها، بنـاءً عىل قـرار املجلس األعىل للمركـز الوطنـي لتطوير املناهج يف جلسـته رقـم )2021/5(، تاريخ 2021/12/7 م، وقـرار جملس الرتبية والتعليـم رقم )2021/167(، تاريـخ 2021/12/21 م، بـدءًا من العام الـدرايس 2021 / 2022 م.المقدمة ً انطالقا من إيمان المملكة األردنية الهاشــمية الراســخ بأهمية تنمية قدرات اإلنسان األردني، وتسليحه بالعلم والمعرفة؛ سعى المركز الوطني لتطوير المناهج، بالتعاون مع وزارة التربية والتعليم، إلى تحديث المناهج الدراسية وتطويرها، لتكون معينً ّ ا للطلبة على االرتقاء بمستواهم المعرفي والمهاري، ومجاراة األقران في الدول المتقدمة. ّ ولم ّ ا كان مبحث الرياضيات من أهم المباحث الدراسية التي تنم َ ي لدى الطلبة مهارات التفكير وحِّل المشكالت، فقد أَ ْو ً لى المركز مناهجه عناية ً كبيرة ُ وأعدها وفق أفضل الطرائق المَّتبَعة عالميًّا على أيدي خبرات أردنيّة؛ لضمان انسجامها مع القيم الوطنية الراسخة، وتلبيتها لحاجات الطلبة. وقــد روعي في إعداد كتــب الرياضيات للمرحلة الثانويــة تضمينها الموضوعــات الرياضية األكثر أهمية واســتخدامًا في التطبيقات العلمية المختلفة؛ بُغية إعداد الطلبة للدراسة الجامعيّ ً ة إعدادا جيًّدا يتواءم مع مناهج ُ الدول المتقدمة. كما حــرِص على تقديم هذه الموضوعات بطريقة بنائيّة متدرجــة تتيح للطلبة فرصة تعلمها بعمق من دون عناء أو جهد كبيرين. ّ كما روعي تقديم الموضوعــات بطريقة منظمة جاذبة ومدعمة بتمثيالت بيانية ومزودة بإرشــادات تعين الطلبــة على مواصلة تعلمهم بسالســة من دون تعثر؛ فهي تذكرهم بالخبرات التعليميّ ً ة التي امتلكوها ســابقا ً وتســاعدهم على ربط الموضوعات الجديدة ببعضها ربط ً ا وثيقا. إضافة إلى صلة كثير من أمثلتها ومســائلها بسياقات حياتيّ ِّ ة تحف ّ ز الطلبة على تعلم الرياضيّات بشغف وتجعله ذا معنى. َّ وألن ُّ كثــرة تدر َ ب الطلبة على حِّل ٌ المســائل نهج ٌ ناجع في ترســيخ المفاهيم الرياضيــة لديهم وتعزيز طالقتهــم اإلجرائيّ ّ ة فقد تضم ً ن كتابا الطالب والتمارين عددا كافيًا من التدريبات؛ بهدف توثيق عالقة الطلبة ّ بالكتاب المدرســي ً بصفته مرجع ً ــا موثوقا ورصينًا يغنيهم عن البحث عن أيّــة مراجع أو مصادر إضافيّة، ّ ويحق ّ ق العدالة في التعلم. ُ ونحن إذ ن ِّقدم هذا الكتاب، نؤمّل أن ينال إعجاب طلبتنا والكوادر التعليمية، ويجعل تعليم الرياضيات ُّ وتعل ً مها أكثر متعة ً وسهولة َ ، ونعُِد ْ بأن نستمرَّ في تطويره في ضوء ما يصلنا من مالحظات سديدة. المركز الوطني لتطوير المناهج4 الوحدة 5 االقترانات المثلثية 6 الدرس 1 قياس الزاوية بالراديان 8 الدرس 2 االقترانات المثلثية 19 الدرس 3 تمثيل االقترانات المثلثية بيانيًّا 34 معمل برمجية جيوجبرا: تمثيل االقترانات المثلثية بيانيًّا 49 اختبار نهاية الوحدة 50 الوحدة 6 المتطابقات والمعادالت المثلثية 52 الدرس 1 المتطابقات المثلثية 1 54 الدرس 2 المتطابقات المثلثية 2 66 الدرس 3 حل المعادالت المثلثية 77 اختبار نهاية الوحدة 90 قائمة المحتويات5 الوحدة 7 التكامل 92 الدرس 1 التكامل غير المحدود 94 الدرس 2 التكامل المحدود 107 معمل برمجية جيوجبرا: تطبيقات التكامل: المساحة 121 اختبار نهاية الوحدة 122 الوحدة 8 االحتماالت 124 الدرس 1 التباديل والتوافيق 126 الدرس 2 ُ المتغيِّرات العشوائية 141 اختبار نهاية الوحدة 152 الوحدة 9 المتتاليات والمتسلسالت 154 الدرس 1 المتتاليات والمتسلسالت 156 الدرس 2 المتتاليات والمتسلسالت الحسابية 166 الدرس 3 المتتاليات والمتسلسالت الهندسية 178 اختبار نهاية الوحدة 194 قائمة المحتوياتالوحدة 5 االقترانات المثلثية Trigonometric Functions ما أهمية هذه الوحدة؟ ُتَع ُّـد االقترانـات المثلثيـة أحـد أكثـر فـروع الرياضيـات اسـتعماًاًل فـي العلـوم المختلفـة؛ إذ يُمكِن عـن طريقهـا نمذجـة كثيـر مـن الظواهـر العلميـة، مثل: موجـات الصـوت، والضـوء. وكذلك إيجـاد ارتفاع َ الم ِّـد َ والج ْـزر، وإنشـاء الخرائـط، فضلًا عـن اسـتعمالها فـي أنظمـة األقمـار الصناعيـة. 67 تعلَّ ْم ُت سابقً ا: ✔ ماهيــة دائــرة الوحــدة، ووضــع الزاويــة القياســي. ✔ إيجــاد النســب المثلثيــة للزوايــا ضمــن الــدورة الواحــدة. ✔ تمثيــل االقترانــات المثلثيــة فــي المســتوى اإلحداثــي، واســتنتاج خصائصهــا. سأتعلَّ م في هذه الوحدة: ◂ رسم الزوايا في الوضع القياسي. ◂ التحويل من القيــاس بالدرجات إلى القياس بالراديان، والعكس. ◂ إيجاد قِيَ ِّ م االقترانات المثلثية ألي زاوية. ◂ تمثيل االقترانات المثلثية األساســية بيانيًّا في المستوى اإلحداثي. ملحوظة: أســتعمل تدريبات )أستعد لدراسة الوحدة( في الصفحات (-10 6) من كتاب التمارين؛ لمراجعة هذه الموضوعات قبل البدء بدراسة الوحدة.8 الدرس 1 قياس الزاوية بالراديان Angle Measure in radian فكرة الدرس · رسم الزوايا في الوضع القياسي. · التحويل من القياس بالدرجات إلى القياس بالراديان، والعكس. المصطلحات ُ الراديان، الزوايا المشترِكة، السرعة الخطية، السرعة الزاويَّة. مسألة اليوم إذا كان طـول عقـرب الدقائق في السـاعة المجـاورة cm ،6 فكيف أجد المسـافة التـي يقطعهـا رأس العقرب بعد مـرور 15 دقيقة علـى حركته؟ أجد المسـافة بطريقتيـن مختلفتين. رسم الزاوية في الوضع القياسي َّ تعل ْم ُ ــت ً ســابق َّ ا أن الزاوية المرســومة في الوضع القياسي في المستوى اإلحداثي هي زاوية يقع رأسها عند نقطة األصل (0 0,)، وضلع ابتدائها مُنطبِق على المحور x الموجب. َّ تعل ْم ُت ً أيض َّ ا أن قياس الزاوية يصف مقدار الدوران واتجاهــه الال ِ زمين لالنتقال من ضلــع االبتداء إلى َّ ضلع االنتهــاء، وأن قياس الزاوية يكون موجبًا إذا كان الــدوران عكس اتجاه دوران عقارب الساعة، وسالبًا إذا كان الدوران في اتجاه دوران عقارب الساعة. ضلع الانتهاء ضلع الابتداء زاوية في الوضع القياسي x y الدوران عكس اتجاه دوران عقارب الساعة زاوية قياسها موجب x y الدوران في اتجاه دوران عقارب الساعة زاوية قياسها سالب x y9 الوحدة 5      ُ أرسم في الوضع القياسي الزاوية التي علِ ٍّ م قياسها في كل ّ مما يأتي: 1 240° َّ بمــا أن الزاوية 240° تزيد علــى الزاوية 180° بمقدار 60° َّ ، فإنني أرســم ضلع االنتهاء بالدوران 60° عكس اتجاه دوران عقارب الساعة، بدءًا بالجزء السالب من المحور x. 2 500° َّ بمــا أن الزاوية 500° تزيد علــى الزاوية 360° بمقدار 140° َّ ، فإن ضلــع االنتهاء أكمــل دورة كاملة عكس ً اتجاه دوران عقارب الساعة، ثم دار أيضا 140° عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. 3 -50° َّ بما أن -50° َّ زاوية ســالبة، فإنني أرسم ضلع االنتهاء بالدوران 50° في اتجاه دوران عقارب الســاعة، بدءًا بالجزء الموجب من المحور x. أتحقَّ ق من فهمي ُ أرسم في الوضع القياسي الزاوية التي علِ ٍّ م قياسها في كل ّ مما يأتي: a) 170° b) 650° c) -130° مثال 1 x y 240˚ 60˚ x y 500˚ 140˚ x y -50˚ إرشاد يُمكِن اســتعمال المنقلة لتمثيــل الزوايــا تمثيًاًل ً دقيقــا. وفي حــال كان الرســم تقريبيًّا فيُ َ ستعمل التقدير لرسم الزوايا. َّ أتذكر إذا دار ضلع انتهاء الزاوية فــي الوضــع القياســي دورة كاملــة عكس اتجاه دوران عقارب الســاعة، َّ فإنه يصنع في أثناء دورته زوايــا قياســها بيــن 0° و ،360° وإذا اســتمر في َّ دورانــه، فإنه يصنع زوايا قياسها أكبر من 360° الراديان َّ تعل ْم ُت ً ســابق َّ ا أنه يُمكِن قياس الزوايا بالدرجــات، ويُمكِ ً ن أيضا قياســها بوحدةٍ ُ تعتمد على طول قوس الدائرة، وت ّ ســمى الراديان )radian). فقياس الزاوية المرســومة في الوضع القياســي، التي يُ ِّحد ُ د ضلع ً انتهائها قوســا مــن الدائرة، طوله مســاوٍ ُ لنصف ق ْطر الدائرة، هو 1 راديان. َّ وبما أن محيط الدائرة يســاوي πr2 َّ ، فإن قياس زاوية الدورة الكاملة هو π2 راديان. وبذلك، َّ فإن القياس بالدرجات والقياس بالراديان مُرتبِطان بالمعادلة اآلتية: 360° = 2π rad  or  180° = π rad r r 1 rad y x10 يُ َكتــب 1 راديان في صورة: rad 1 َّ ، وهذا يعني أن قياس الزاوية المســتقيمة هو rad π، َّ وأن π َّ ، وأن قياس الزاوية التي يقابلها قوس طوله وحدتان هو rad .2 قياس الزاوية القائمة هو rad 2 O 1 π rad rad 2 rad O 1 1 1 1 O π 2 180° = π rad   1 rad = ( 180 π )°    1° = π 180 rad 1 للتحويـل مـن القيـاس بالدرجات إلـى القيـاس بالراديـان، أضرب قيـاس الزاوية π rad في 180° 2 للتحويـل مـن القيـاس بالراديان إلـى القيـاس بالدرجـات، أضرب قيـاس الزاوية 180° π rad في أتعلَّ م مفهوم أساسي التحويل من القياس بالدرجات إلى القياس بالراديان، والعكس في الشكل التالي: θ = 1 rad θ ≈ 57.3° 1 1 θ أتعلَّ م ُ بوجه عــام، ت َحذف كلمة (rad (عنــد التعبير عن قياسات الزوايا بالراديان. وحين يكون قياس الزاوية من دون وحدة، فهذا يعني َّ أن قياسها بوحدة راديان.      أُ ِّ حــول قياس الزاوية المكتوبة بالدرجات إلى الراديان، وقيــاس الزاوية المكتوبة بالراديان إلى ٍّ الدرجات في كل ّ مما يأتي: 2 - π 12 1 140° - π 12 = - π 12 rad ( 180° π rad 140° = 140° ( ) π rad 180° ) = 140° ( = -15° π rad 180° ) = 140 π 180 = 7π 9 rad أتحقَّ ق من فهمي أُ ِّ حــول قياس الزاوية المكتوبة بالدرجات إلى الراديان، وقيــاس الزاوية المكتوبة بالراديان إلى ٍّ الدرجات في كل ّ مما يأتي: a) 165° b) 5π 4 c) -80° d) -6 مثال 2