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PROGRAMME DE SECONDES — MATHÉMATIQUES STATISTIQUES DESCRIPTIVES & ÉCHANTILLONNAGE Leçon complète avec définitions, formules et exemples d'application 1. Vocabulaire et Organisation des Données La statistique est l'étude du recueil, du traitement et de l'interprétation d'un ensemble de données. Population : Ensemble des sujets ou objets étudiés (ex. les élèves d'une classe, les ampoules produites dans une usine). Individu : Un élément unique de la population (ex. un élève, une ampoule). Caractère (ou variable) : La propriété observée ou mesurée chez les individus. Qualitatif : Lorsque les valeurs ne sont pas des nombres (ex. couleur des yeux, genre, marque). Quantitatif : Lorsque les valeurs sont numériques. Discret : Prend des valeurs isolées, généralement entières (ex. nombre d'enfants, nombre de pièces). Continu : Peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle (ex. taille, masse, durée). Effectifs et Fréquences Soit N l'effectif total de la population (la somme des effectifs de chaque valeur). Si la valeur x i apparaît n i fois dans la série, alors n i est l'effectif associé à x i . La fréquence f i associée à la valeur x i est la proportion d'individus présentant ce caractère : f i = ni / N Propriété importante Une fréquence est toujours comprise entre 0 et 1 (soit 0 % et 100 %). La somme de toutes les fréquences de la série est égale à 1 (100 %). 2. Indicateurs de Position (Tendances Centrales) A. La Moyenne (x̄) La moyenne pondérée d'une série statistique est la somme des valeurs multipliées par leurs effectifs, divisée par l'effectif total. Pour une série de valeurs x 1 , x2 , ..., xk d'effectifs n 1 , n2 , ..., nk : x̄ = (n1 x 1 + n2 x 2 + ... + nk x k ) / N = (∑ ni x i ) / N Cas des données groupées en classes [a ; b[ • • • ◦ ◦ ▪ ▪ Mathématiques 2de — Statistiques Page 1 / 3Lorsque les données sont regroupées en intervalles d'amplitude fixe ou variable, on utilise le centre de la classe c i = (a + b) / 2 pour effectuer le calcul de la moyenne. B. La Médiane (M) La médiane d'une série ordonnée dans l'ordre croissant est une valeur qui partage la population en deux groupes de même effectif : Au moins 50 % des valeurs sont inférieures ou égales à M. Au moins 50 % des valeurs sont supérieures ou égales à M. Méthode de détermination de la médiane : Soit N l'effectif total d'une série ordonnée : Si N est impair (N = 2k + 1) : La médiane est la valeur située au rang k + 1. Si N est pair (N = 2k) : La médiane est la demi-somme des valeurs aux rangs k et k + 1. 3. Indicateurs de Dispersion & Quartiles A. Les Quartiles (Q1 et Q3 ) Premier quartile (Q1 ) : C'est la plus petite valeur de la série ordonnée telle qu'au moins 25 % (un quart) des données lui soient inférieures ou égales. Règle pratique : Calculer 0,25 × N. Le rang de Q1 est le premier entier supérieur ou égal à ce résultat. Troisième quartile (Q3 ) : C'est la plus petite valeur de la série ordonnée telle qu'au moins 75 % (trois quarts) des données lui soient inférieures ou égales. Règle pratique : Calculer 0,75 × N. Le rang de Q3 est le premier entier supérieur ou égal à ce résultat. B. Étendue et Écart Interquartile Étendue : Différence entre la valeur maximale et la valeur minimale de la série (E = xmax − xmin). Elle mesure l'étalement global. Écart interquartile : Différence entre Q3 et Q1 (I = Q3 − Q1 ). Il mesure la dispersion du 50 % central des données autour de la médiane. Plus il est faible, plus les données sont concentrées. Exemple d'application concrète Soit les notes obtenues par 9 élèves à un devoir : 6 ; 8 ; 9 ; 11 ; 12 ; 13 ; 15 ; 16 ; 18 (série déjà ordonnée, N = 9). Moyenne : x̄ = (6 + 8 + 9 + 11 + 12 + 13 + 15 + 16 + 18) / 9 = 108 / 9 = 12,0 Médiane : N = 9 (impair), rang (9 + 1)/2 = 5e élément. La médiane est M = 12. Premier quartile Q1 : 0,25 × 9 = 2,25 → 3e rang → Q1 = 9. Troisième quartile Q3 : 0,75 × 9 = 6,75 → 7e rang → Q3 = 15. Écart interquartile : Q3 − Q1 = 15 − 9 = 6. • • • • • • • • • • • • • Mathématiques 2de — Statistiques Page 2 / 34. Échantillonnage et Fluctuation Échantillon : Sous-ensemble prélevé au hasard et avec remise dans une population globale. La taille de l'échantillon est notée n. Fluctuation d'échantillonnage : Phénomène selon lequel la fréquence f d'un caractère varie d'un échantillon à un autre de même taille n prélevé dans la même population. Stabilisation des fréquences : Lorsque la taille n de l'échantillon devient très grande, la fréquence observée f tend à se rapprocher de la proportion théorique p du caractère dans la population globale. Synthèse des Formules à Retenir Notion Formule / Règle Interprétation Fréquence f i = ni / N Proportion de la valeur dans la population Moyenne x̄ = (∑ ni xi ) / N Valeur d'équilibre de la répartition Médiane 50% ≤ M et 50% ≥ M Sépare la série ordonnée en 2 parts égales Quartile Q1 Atteint pour au moins 25% de N Séparateur du premier quart des données Quartile Q3 Atteint pour au moins 75% de N Séparateur des trois premiers quarts • • • Mathématiques 2de — Statistiques Page 3 / 3