Ejercitacion campos vectoriales

UdeMM -Análisis II A Pág. 1 de 4 2023 Campos Vectoriales 1. Hallar el dominio de las siguientes funciones vectoriales a. 𝑭(𝒕) = (1 − 2𝑡, 3 + 𝑡, −1 + 𝑡) d. 𝑭(𝒕) = (ln 𝑡, 𝑡 𝑡−1 ,𝑒 −𝑡 ) b. 𝑭(𝒙, 𝒚, 𝒛) = (𝑒 𝑥 2+𝑦 2+𝑧 2 , 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)) e. 𝑭(𝒕) = (a cos 𝑡, 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝑡 ,𝑡) c. 𝑭(𝒕) = (𝑡 2 , √𝑡 − 1, √5 − 𝑡) f. 𝑭(𝒕) = (𝑡,𝑡 2 , √1 − 𝑡 2 25 − 𝑡 2 16 3 ) 2. Calcular los siguientes límites a. lim 𝑡→0 {𝑡 2 + 1 , 2𝑡 , 𝑠𝑒𝑛 𝑡} b. lim 𝑡→1 {√𝑡, ln 𝑡 𝑡 2−1 , 2𝑡 2 } c. lim 𝑡→0 {𝑒 𝑡 , 𝑠𝑒𝑛 𝑡 3𝑡 , 𝑒 −𝑡 } d. lim 𝑡→2 {𝑡 , 𝑡 2−4 𝑡 2−2𝑡 , 1 𝑡 } e. lim 𝑡→0 {cos 𝑡 , 𝑠𝑒𝑛 𝑡 ,𝑡ln 𝑡} f. lim 𝑡→1 {√𝑡 + 3, 𝑡−1 𝑡 2−1 , tan(𝑡−1) 𝑡−1 } 3. Analizar la continuidad de las siguientes funciones a. 𝑭(𝒕) = {𝑡 3 + 1,𝑡 2 − 2𝑡, 𝑠𝑒𝑛 𝑡} b. 𝑭(𝑡) = { (𝑡,𝑡 2 , 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑡 ) 𝑠𝑖 𝑡 ≠ 0 (0,0,0) 𝑠𝑖 𝑡 = 0 c. 𝑭(𝒕) = { 1 (𝑡+1) 2 ,𝑡 3 } 4. Hallar las derivadas y/o integrales, según corresponda: a. La derivada primera de 𝑭(𝒕) = (𝑡 2 ,𝑡, 𝑠𝑒𝑛 𝑡) para cualquier t b. 𝑭 ′ (𝒕) 𝒚 𝑭′(𝟎) si 𝑭(𝑡) = (𝑠𝑒𝑛 (2𝜋𝑡), cos(2𝜋𝑡) , 2𝑡 − 𝑡 2 ) c. 𝑭 ′ (𝒕) 𝒚 𝑭′(𝟎) si 𝑭(𝑡) = (𝑠𝑒𝑛 (2𝑡), log(1 + 𝑡) ,𝑡) d. Usar las propiedades de la derivada para encontrar: i. 𝒓′(𝒕) Siendo: 𝒓(𝒕) = (𝑡, 2 𝑠𝑒𝑛 𝑡, 2 cos 𝑡) y ii. 𝒓′′(𝒕) 𝒖(𝒕) = ( 1 𝑡 , 2 𝑠𝑒𝑛 𝑡, 2 cos 𝑡) iii. 〈𝒓(𝒕),𝒖(𝒕)〉′ iv. (𝒓(𝒕) × 𝒖(𝒕))′ v. ‖𝒓(𝒕)‖′ e. Para 𝒇(𝑡) = (𝑒 2𝑡 ,𝑡 2 ,𝑒 −2𝑡 ), hallar 𝒇 ′ (𝒕), 𝒇 ′′(𝒕) , ‖𝒇′(𝒕)‖ f. Hallar la derivada de 𝒓(𝒕) = (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑡, √1 − 𝑡 2, 1) g. ∫ [𝑡 ,𝑡 2 ,𝑡 3 ]𝑑𝑡 1 0 h. ∫ [cos 2𝑡 , 𝑠𝑒𝑛 2𝑡,𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡]𝑑𝑡 𝜋 4 0 i. ∫(𝑒 𝑡 , 2𝑡, − ln 𝑡)𝑑𝑡 UdeMM -Análisis II A Pág. 2 de 4 2023 5. Calcular el rotor y la divergencia de los siguientes campos vectoriales a. 𝑭(𝒙, 𝒚, 𝒛) = (𝑥𝑦, 𝑦𝑧, 𝑧𝑥) b. 𝑭(𝒙, 𝒚, 𝒛) = (𝑥 − 2𝑧, 𝑦 + 𝑧, 𝑥 − 2𝑦) c. 𝑭(𝒙, 𝒚, 𝒛) = (𝑥𝑦𝑧, 0, 𝑥 2𝑦) d. 𝑭(𝒙, 𝒚, 𝒛) = (𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦,𝑒 𝑥 cos 𝑦 , 0) e. 𝑭(𝒙, 𝒚, 𝒛) = ( 𝑥 𝑧 , 𝑦 𝑧 , − 1 𝑧 ) f. 𝑭(𝒙, 𝒚, 𝒛) = (𝑥𝑒 𝑦𝑧 , 𝑦𝑒 𝑥𝑧 , 𝑧𝑒 𝑥𝑦) 6. Determinar si F es o no un campo conservativo; si lo es, encontrar una función 𝑈(𝑥, 𝑦) tal que U sea el gradiente de F a. 𝑭(𝒙) = (6𝑥 + 5𝑦 , 5𝑥 + 4𝑦) b. 𝑭(𝒙) = (𝑥 3 + 4𝑥𝑦 , 4𝑥𝑦 − 𝑦 3 ) c. 𝑭(𝒙) = (𝑥𝑒 𝑦 , 𝑦𝑒 𝑥 ) d. 𝑭(𝒙) = (𝑒 𝑦 , 𝑥𝑒 𝑦) e. 𝑭(𝒙) = (1 + 2𝑥𝑦 + ln 𝑥 , 𝑥 2 ) f. 𝑭(𝒙) = (𝑦𝑒 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑦 ,𝑒 𝑥 + 𝑥 𝑐𝑜𝑥 𝑦 ) g. 𝑭(𝒙) = (𝑦 𝑒 𝑥𝑦 + 4𝑥 3𝑦, 𝑥𝑒 𝑥𝑦 + 𝑥 4 ) h. 𝑭(𝒙) = (2𝑥𝑐𝑜𝑥 𝑦 − 𝑦𝑐𝑜𝑠 𝑥 , −𝑥 2 𝑠𝑒𝑛𝑦 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 ) 7. Verificar que las siguientes funciones son armónicas a. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 − 𝑦 2 b. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 𝑥 cos 𝑦 c. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 3 − 3𝑥𝑦 2 d. 𝑓(𝑥, 𝑦) = cos 𝑥 cosh 𝑦 e. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑦 f. 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥 2 + 3𝑦 2 − 5𝑧 2 8. Determinar el valor de “a” para que el campo vectorial sea solenoidal a. 𝒇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 3𝑦, 𝑦 − 2𝑧, 𝑥 + 𝑎𝑧) b. 𝒇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑎𝑥𝑦 − 𝑧 3 , (𝑎 − 2)𝑥 2 , (2 − 𝑎)𝑥𝑧 2 ) 𝑒𝑛 𝒙0 = (1,1,1) 9. Comprobar que el campo: a. 𝒇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝑥, 𝑦, −3𝑧) es solenoidal b. 𝒇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥𝑦, 𝑥 2 2 + 𝑧 cos(𝑦𝑧) , 𝑦 cos(𝑦𝑧)) es irrotacional y calcular una función potencial 10. Demostrar que la divergencia de 𝒇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦, 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦, 𝑧 ) es 1 UdeMM -Análisis II A Pág. 3 de 4 2023 Respuestas 1. a. Dom 𝑭(𝒕) = R d. Dom 𝑭(𝒕) = (0,1) ∪ (1, +∞) b. Dom 𝑭(𝒙, 𝒚, 𝒙) = R e. Dom 𝑭(𝒕) = 𝑅 c. Dom 𝑭(𝒕) = [1,5] f. Dom 𝑭(𝒕) = {𝑡 ∈ 𝑅 ∕ 1 − 𝑡 2 25 − 𝑡 2 16 ≥ 0} 2. a. (1,0,0) b. (1, 1 2 , 2) c. (1, 1 3 , 1) d. (2,2, 1 2 ) e. (1,0,0) f. (2, 1 2 , 1) 3. a. Continua en todo R b. No es continua en 𝑡 = 0 c. No es continua en 𝑡 = −1 4. a. 𝑭 ′ (𝒕) = (2𝑡, 1, cos 𝑡) b. 𝑭 ′ (𝟎) = (2𝜋, 0,2) c. 𝑭 ′ (𝟎) = (2, 1 ln 10 , 1) d. i. 𝑟 ′ (𝑡) = (1 , 2 cos 𝑡, −2𝑠𝑒𝑛 𝑡) ii. 𝑟 ′′(𝑡) = (0 , −2𝑠𝑒𝑛 𝑡, −2 cos 𝑡) iii. 〈𝑟(𝑡), 𝑢(𝑡)〉 ′ = 0 iv. (𝑟(𝑡) × 𝑢(𝑡)) ′ = 1 𝑡 2 (0, (2𝑡 3 − 2𝑡)𝑠𝑒𝑛 𝑡 − (2𝑡 2 + 2) cos 𝑡 , (2𝑡 2 + 2)𝑠𝑒𝑛 𝑡 + (2𝑡 3 − 2𝑡) cos 𝑡) v. ‖𝑟(𝑡)‖′ = 𝑡 √𝑡 2+4 e. 𝒇 ′ (𝒕) = 2(𝑒 2𝑡 ,𝑡, −𝑒 −2𝑡 ) 𝒇 ′′(𝒕) = 2(2𝑒 2𝑡 , 1,2𝑒 −2𝑡 ) ‖𝒇′(𝒕)‖ = 𝟐√𝑒 4𝑡 + 𝑡 2 + 𝑒 −4𝑡 f. 𝒓 ′ (𝒕) = ( 1 √1−𝑡 2 , − 𝑡 √1−𝑡 2 , 0) g. ( 𝟏 𝟐 , 𝟏 𝟑 , 𝟏 𝟒 ) h. ( 𝟏 𝟐 , 𝟏 𝟐 , √𝟐 𝟖 (𝟒 − 𝝅)) i. (𝑒 𝑡 ,𝑡 2 ,𝑡 ln(𝑡) − 1) + 𝐶 UdeMM -Análisis II A Pág. 4 de 4 2023 5. a 𝑟𝑜𝑡 𝑭 = (−𝑦, −2, −𝑥) 𝐷𝑖𝑣 𝑭 = 𝑦 + 𝑧 b 𝑟𝑜𝑡 𝑭 = (−3, −3,1) 𝐷𝑖𝑣 𝑭 = 2 c 𝑟𝑜𝑡 𝑭 = (−𝑥 2 , 3𝑥𝑦, −𝑥𝑧) 𝐷𝑖𝑣 𝑭 = 𝑦𝑧 d 𝑟𝑜𝑡 𝑭 = (0,0,0) 𝐷𝑖𝑣 𝑭 = 0 e 𝑟𝑜𝑡 𝑭 = ( 𝑦 𝑧 2 , −𝑥 𝑧 2 , 0) 𝐷𝑖𝑣 𝑭 = 2𝑧 + 1 𝑧 2 f 𝑟𝑜𝑡 𝑭 = [𝑥(𝑧𝑒 𝑥𝑦 − 𝑦𝑒 𝑦𝑧), 𝑦(𝑥𝑒 𝑦𝑧 − 𝑧𝑒 𝑥𝑦), 𝑧(𝑦𝑒 𝑥𝑧− 𝑥𝑒 𝑦𝑧)] 𝐷𝑖𝑣 𝑭 = 𝑒 𝑦𝑧 + 𝑒 𝑥𝑧 + 𝑒 𝑥𝑦 6. a. 𝑈 = 5𝑥𝑦 + 3𝑥 2 + 2𝑦 2 + 𝐶 b. No es conservativo c. No es conservativo d. 𝑈 = 𝑥𝑒 𝑦 + 𝐶 e. 𝑈 = 𝑥 2𝑦 + 𝑥 ln 𝑥 + 𝐶 f. 𝑈 = 𝑦𝑒 𝑥 + 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 𝐶 g. 𝑈 = 𝑒 𝑥𝑦 + 𝑥 4𝑦 + 𝐶 h. 𝑈 = 𝑥 2 cos 𝑦 − 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶 7. ------ 8. a. 𝑎 = −2 b. 𝑎 = 4 9. a. -------, b. 𝑈(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 2𝑦 2 + 𝑠𝑒𝑛 (𝑦𝑧) 10. ---------